La investigación que hemos realizado trata de explicar Los límites que describen cómo se comporta una función cerca de un punto, en vez de en ese punto. Esta simple pero poderosa idea es la base de todo el cálculo los limites matemáticos van vinculados al calculo como a la ingeniería mecánica tomando en cuenta como se aplica y su validación al momento de llevarlo ala vida cotidiana teniendo en cuenta la importancia de los limites en la ingeniería mecánica
adjetivos específicos
• Poder demostrar a los estudiantes universitarios, haciendo énfasis en los que se encuentran cursando el programa de ingeniería mecánica, para que puedan ver la importancia de los limites en su campo
• se lleva a cabo una buena enseñanza para los estudian para que aprendan a desenvolverse al mayor provecho de lo que se le plantee
• comprender la dinámica que abarca todo lo relacionado con limites y sus contenidos tanto como el desarrollo y sus distintas formulas
LIMITES
Uno de los análisis bases para una función es estudiar su continuidad y los valores en el que posiblemente ésta no exista. Por lo tanto, estudiar a la función en entornos reducidos de estos valores y observando el comportamiento de ella misma, es lo que llamamos limitesde una función.
limites y sus contenidos
Definición de Límite
Propiedades y algebra de límites
Límites laterales
Límites infinitos
Límites indeterminados
Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo. Empezamos con la función f(x)=x+2f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.
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Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una recta que empieza en (0, 2), se mueve hacia arriba, pasa a través de (2, 4) y (4, 6) y termina en (7,9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
El límite de ff en x=3x, equals, 3 es el valor al cual se aproxima ff a medida que nos acercamos más y más a x=3x, equals, 3. Gráficamente, es el valor de yy al que tendemos en la gráfica de ff al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde x=3x, equals, 3.
Por ejemplo, si partimos del punto (1,3)left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de x=3x, equals, 3, entonces nuestro valor yy (es decir, el valor de la función) está muy cerca de 55.
La gráfica de la función f está animada. Un punto se mueve hacia arriba sobre la recta desde (1, 3) hasta (2.99, 4.99).
Similarmente, si empezamos en (5,7)left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de x=3x, equals, 3, el valor yy nuevamente estará muy cerca de 55.
La gráfica de la función f está animada. Un punto se mueve hacia abajo sobre la recta desde (5, 7) hasta (3.01, 5.01).
Por estas razones, decimos que el límite de ff en x=3x, equals, 3 es 55.
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La gráfica de la función f tiene flechas que apuntan a lo largo de la recta, hacia arriba y a la derecha y hacia abajo y a la izquierda, respectivamente, en dirección del punto (3, 5).
Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de ff en x=3x, equals, 3 y el valor de ff en x=3x, equals, 3, es decir, f(3)f, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Y sí, el límite de f(x)=x+2f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 en x=3x, equals, 3 es igual a f(3)f, left parenthesis, 3, right parenthesis, pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función gg. Esta función es igual a ff, excepto que no está definida para x=3x, equals, 3.
1234567812345678yxg
Se grafica la función g. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una recta que empieza en (0, 2), se mueve hacia arriba, pasa a través de (2, 4) y de un círculo abierto en (3, 5) y termina en (7, 9).
Tal como con ff, el límite de gg en x=3x, equals, 3 es 55. Esto se debe a que aún podemos acercarnos mucho a x=3x, equals, 3 y los valores de la función se acercarán muchísimo a 55.
1234567812345678yxg
La gráfica de la función g tiene flechas que apuntan a lo largo de la recta, hacia arriba y a la derecha y hacia abajo y a la izquierda, respectivamente, en dirección del círculo abierto en (3, 5).
Así que el límite de gg en x=3x, equals, 3 es igual a 55, ¡pero el valor de gg en x=3x, equals, 3 no está definido! ¡No son lo mismo!
Esa es la belleza de los límites: no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al límite.
PROBLEMA 1
Esta es la gráfica de hh.
1234567-2-3-4-5-6-71234567-2-3-4-5-6-7yxh
¿Cuál es una estimación razonable para el límite de hh en x=3x, equals, 3?
Tenemos también una notación especial para hablar de límites. Así es como escribimos el límite de ff cuando xx se acerca (o tiende a) 33:
"El lıˊmite de..."↘x→3lim↗"...cuando x tiende a 3.""...la funcioˊn f..."↙f(x)
El símbolo limlimit significa que tomamos el límite de algo.
La expresión a la derecha de limlimit es la expresión de la cual tomamos el límite. En nuestro caso, se trata de la función ff.
La expresión x→3x, \to, 3 que aparece debajo de limlimit significa que tomamos el límite de ff a medida que los valores de xx se acercan a 33.
PROBLEMA 2
Esta es la gráfica de ff.
1234567-2-3-4-5-6-71234567-2-3-4-5-6-7yxf
¿Cuál es una estimación razonable para x→6limf(x)limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis?
PROBLEMA 3
¿Cuál expresión representa el límite de x2x, squared cuando xx tiende a 55?
¿Qué queremos decir con "infinitamente cerca"? Examinemos los valores de f(x)=x+2f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 a medida que los valores de xx se acercan mucho a 33. (Recuerda que al hablar de límites no nos interesa f(3)f, left parenthesis, 3, right parenthesis en sí).
xx
f(x)f, left parenthesis, x, right parenthesis
2.92, point, 9
4.94, point, 9
2.992, point, 99
4.994, point, 99
cerca de 32.999start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray
cerca de 54.999start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray
Podemos ver que cuando los valores de xx son menores que 33, pero se acercan más y más, los valores de ff se acercan más y más a 55.
xx
f(x)f, left parenthesis, x, right parenthesis
3.13, point, 1
5.15, point, 1
3.013, point, 01
5.015, point, 01
cerca de 33.001start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray
cerca de 55.001start color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray
También vemos que cuando los valores de xx son mayores que 33, pero se acercan más y más, los valores de ff se acercan más y más a 55.
Observa que con lo que más nos acercamos a 55 es con f(2.999)=4.999f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999 y f(3.001)=5.001f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001, que están a 0.0010, point, 001 unidades de distancia de 55.
Podemos acercarnos más, si así lo deseamos. Por ejemplo, supongamos que queremos estar a 0.000010, point, 00001 unidades de 55; entonces podemos escoger x=3.00001x, equals, 3, point, 00001 y en ese caso f(3.00001)=5.00001f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001.
Esto no tiene fin. Siempre podemos acercarnos más a 55. Pero ¡de eso se trata "infinitamente cerca"! Como "infinitamente cerca" no es posible en la realidad, lo que queremos decir con x→3limf(x)=5limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 es que no importa cuánto queramos acercarnos a 55, existe un valor de xx muy cercano a 33 que nos llevará ahí.
Si esto te parece difícil de captar, quizá esto te ayude: ¿cómo sabemos que hay un número infinito de números enteros diferentes? No es como si los contáramos todos y llegáramos a infinito. Sabemos que son infinitos porque para cada número entero hay uno que es aún mayor que ese. Siempre hay otro, y otro más.
En límites no queremos llegar a "infinitamente grande", sino ir "infinitamente cerca". Cuando escribimos x→3limf(x)=5limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos decir que siempre podemos estar más y más cerca de 55.
PROBLEMA 4
xx
g(x)g, left parenthesis, x, right parenthesis
−7.1minus, 7, point, 1
6.326, point, 32
−7.01minus, 7, point, 01
6.16, point, 1
−7.001minus, 7, point, 001
6.036, point, 03
−6.999minus, 6, point, 999
6.036, point, 03
−6.99minus, 6, point, 99
6.16, point, 1
−6.9minus, 6, point, 9
6.326, point, 32
¿Cuál es una estimación razonable para x→−7limg(x)limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
Otro ejemplo: x→2limx2limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared
Analizemos x→2limx2limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que es el límite de la expresión x2x, squared cuando xx se acerca a 22.
12345-2-312345678yxy=x2
Se grafica la función y = x cuadrada. El eje x va de menos 4 a 6. La gráfica consta de una curva. La curva es una parábola que empieza en (menos 3, 9), se mueve hacia abajo, pasa por (menos 1, 1) y por (0, 0), se mueve hacia arriba, pasa por (1, 1) y termina en (3, 9).
Podemos ver en la gráfica que cuando nos acercamos al punto donde x=2x, equals, 2, los valores de yy están más y más cerca de 44.
La gráfica de y = x cuadrada está animada con un punto que se mueve hacia arriba sobre la curva desde (1.5, 2.25) hasta (1.99, 3.96) y después se mueve hacia abajo sobre la curva desde (2.5, 6.25) hasta (2.01, 4.04).
También podemos observar esta tabla de valores:
xx
x2x, squared
1.91, point, 9
3.613, point, 61
1.991, point, 99
3.96013, point, 9601
cerca de 21.999start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray
cerca de 43.996001start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray
xx
x2x, squared
2.12, point, 1
4.414, point, 41
2.012, point, 01
4.04014, point, 0401
cerca de 22.001start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray
cerca de 44.004001start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray
También podemos ver cómo nos podemos acercar a 44 tanto como queramos. Supongamos que queremos estar a menos de 0.0010, point, 001 unidades de 44. ¿Cuál valor de xx cercano a x=2x, equals, 2 podemos escoger?
Intentemos x=2.001x, equals, 2, point, 001:
2.0012=4.0040012, point, 001, squared, equals, 4, point, 004001
Este valor está a más de 0.0010, point, 001 unidades de 44. Bueno, intentemos x=2.0001x, equals, 2, point, 0001:
2.00012=4.000400012, point, 0001, squared, equals, 4, point, 00040001
¡Este valor ya está suficientemente cerca! Al intentar valores de xx que están más y más cerca de x=2x, equals, 2, podemos acercarnos aún más a 44.
En conclusión, x→2limx2=4limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.
Un límite debe ser el mismo desde ambos lados.
Si regresamos a f(x)=x+2f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 y x→3limf(x)limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver cómo se aproxima a 55, ya sea que los valores de xx cerzcan hacia 33 (lo que se llama "acercarse por la izquierda"), o bien decrezcan hacia 33 (lo que se llama "acercarse por la derecha").
1234567812345678yxfse acerca por la izquierdase acerca por la derecha
Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica es una recta que empieza en (0, 2) y se mueve hacia arriba, pasa a través de (2,4) y de (4, 6). Una flecha que apunta hacia arriba sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la izquierda. Una flecha que apunta hacia abajo sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la derecha.
Ahora considera, por ejemplo, la función hh. El valor de yy al que nos acercamos, cuando los valores de xx tienden a x=3x, equals, 3, depende de si hacemos esto desde la izquierda o desde la derecha.
1234567812345678yxh
Se grafica la función h. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de 2 rectas. La primera recta empieza en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina en un círculo abierto en (3, 4). La segunda recta empieza en un círculo cerrado en (3, 6), se mueve hacia arriba y termina en (6, 9).
Cuando nos acercamos a x=3x, equals, 3 por la izquierda, la función tiende a 44. Al acercarnos a x=3x, equals, 3 por la derecha, la función tiende a 66.
1234567812345678yxhse acerca por la izquierdase acerca por la derecha
La gráfica de la función h tiene una flecha, que representa acercarse por la izquierda, apunta hacia arriba y a la derecha a lo largo de la primera recta en dirección del círculo abierto en (3, 4). Otra flecha, que representa acercarse por la derecha, apunta hacia abajo y a la izquierda a lo largo de la segunda recta en dirección del círculo cerrado en (3, 6).
Cuando una función no se aproxima al mismo valor por ambos lados, decimos que el límite no existe.
1.Limite
es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un
punto concreto de una sucesión o
una función , a
medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado
valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral
definida se fundamentan mediante el concepto de límite.
2.límite
se refiere a la magnitud fija en que los términos de una secuencia se aproximan
entre sí. Se utiliza en el análisis real y complejo. En las fórmulas
matematicas
3.límite
es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una
secuencia infinita de magnitudes. Un limite matemático, por lo tanto, expresa
la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se
aproximan a un cierto valor.
Buen amigo
ResponderEliminarme parece muy bueno lo de las imágenes.
ResponderEliminarel mapa conceptual esta muy completo, y el contenido del blog es bueno.
ResponderEliminarbuen contenido compañero
ResponderEliminarbuen blog, tiene buenos conceptos
ResponderEliminarMuy buena la información que contiene este blog
ResponderEliminarBuena información relevante al tema principal
ResponderEliminarMuy amplio, eso está muy bien amigo
ResponderEliminarExelente blogger compañero
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